On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) définie par :  
ꢂ
ꢀ(ꢁ) =(ꢁ+ 1)(ꢁ +8)2  
1
2
. Déterminerles conditions de stabilité de ce système placé dans une boucle àretour  
unitaire.  
. Pourannuler l’erreur statique, on introduitunintégrateurdans la chaînedirecte.  
Déterminer les nouvelles conditions de stabilité et conclure.  
1
. L’expressionde lafonctionde transfertenboucleferméest:  
(ꢁ)  
ꢃ(ꢁ) =1+ꢀ(ꢁ)  
(1.5 pts)  
ꢀ
D’où  
ꢄ
ꢄ
ꢅ3ꢆꢇ7ꢅꢉꢆꢈ0ꢅꢆ64ꢆꢄ  
ꢃ
(ꢁ) =(ꢅꢆꢇ)(ꢅꢆꢈ)ꢉꢆꢄ  
=
Par application du tableau de Routh relativement aux conditions de stabilité, on aura :  
1
80  
64+k  
1
7
ꢇ
296−ꢄ  
0
0
ꢇ
7
ꢊ
ꢋ + ꢌ  
ꢇ
296−ꢄ  
> ꢍd’oùk<1296  
Donc le système est stable si  
ꢇ
7
ꢇ
2
. Enintroduisant au système un intégrateurꢎ(ꢁ)=dansla chaine directe touten  
ꢅ
annulant l’erreur de position : (1.5 pts)  
ꢄ
(ꢁ) =ꢅ(ꢅꢆꢇ)(ꢅꢆꢈ)ꢉ  
ꢀ
D’où :  
ꢏ
(ꢅ)  
ꢄ
ꢅ(ꢅꢆꢇ)(ꢅꢆꢈ)ꢉꢆꢄ  
ꢃ
(ꢁ) =ꢇꢆꢏ(ꢅ)  
=
ꢄ
ꢐꢆꢇ7ꢅ3ꢆꢈ0ꢅꢉꢆ64ꢅꢆꢄ  
Par ailleurs : ꢃ(ꢁ)=ꢅ  
Et également, d’après le critère de Routh on aura :  
1
1
80  
64  
k
0
7
ꢇ
296  
k
0
0
0
ꢇ
7
(
64-0.22k)  
D’où : pour que le système soit stable : 64 - 0.22k > 0  
D’où : k < 287  
Conclusion : La correction intégrale participe sensiblement à la dégradation de la  
stabilité du système.  
Partie VI : Régulation (7pts)  
Soit la réponse d’un système en boule ouverte ci-contre :  
1
. DéterminerKle gainstatique dusystèmeenboucleouverte  
1pt)  
. Déterminerlesconstantes Tet τ(T:retard,etτ constante dutemps)  
2pt)  
(
2
(
3
. Onse basant sur le tableau ci-dessous, trouver lesvaleurs des trois coefficients (Kp,Ti,  
Td) de correcteur  
PID Mixte  
PID série  
PID mixte  
P
PI  
1
. Dessinerle schémablocdusystèmebouclé.  
Corrigé :  
Paramètres du modèle :  
PID mixte  
PID série  
P
PI  
1
. Leparamètre  
1pt)  
K=0.8.  
(
1
. Leretardetlaconstante du temps:  
(2pt)  
τ=5.5(tꢑ-t1)  
τ=1.8ꢒ  
T=2.8.t1-1.8.t2  
T=0.04  
1
. PIDMixte:  
(3pt)  
KC=11.2K(T+0.4)  
Ti=τ+ꢍ.ꢋT  
Td=τ.TT+ꢑ.5τ  
Application numérique :  
Kc=49.114  
Ti=1.886  
Td=0.015  
2
.
Schéma bloc :  
(1pt)  
A.  
Le schéma ci-dessus représente le PID d’un procédé industriel  
1
. Oùestimplanté l’élément encerclé?  
. Quelleestla grandeurphysique traitée?  
. Quelleestla fonction del’instrument?  
. Quelleest la nature des signaux?  
2
3
4
B. Untransmetteur de niveau 4-20mA possède uneportée minimale de 20 mètre etune  
étendue d'échelle de 160 mètre.  
1
2
. Calculerle niveaudeliquidecorrespondant à uncourantde 9mA.  
. Calculerle courantcorrespondant à unniveau de150mètres.  
A.  
Le schéma ci-dessus représente le PID d’un procédé industriel  
1
2
3
4
. l’élémentencercléestimplantélocalement  
. lagrandeurphysiquetraitée estleniveau  
. lafonction de l’instrumentestla mesure de niveau c’est untransmetteurdeniveau  
. lanature dessignauxestpneumatiqueetélectrique  
B. Untransmetteur de niveau 4-20mA possède une portée minimale de 20 mètreetune  
étendue d'échelle de 160 mètre.  
•
•
Le niveau correspondant à un courant de 9mA est 70m.  
Le courant correspondant au niveau de 150m est 17A